1D數學

兩千多年前，人們為了方便「數羊」而發明了自然數，「一隻羊」的概念很容易理解，接下來是「兩隻羊」和「三隻羊」，以此類推。人們很快意識到這樣數下去工作量巨大，於是就在某一點放棄計數而代之以「很多羊」。不同的文明在不同點放棄計數。隨著文明的發展，我們漸漸可以支持專門的人去思考「數字」，這些人不用考慮生計問題。這些智者確定了「零」的概念（沒有羊），他們不準備為所有的自然數命名，而是發展出了多種計數體系，在需要的時候再為自然數命名，使用數字「1」，「2」等（羅馬人使用「I」，「V」，「X」之類的）。這樣，數學誕生了。

人們習慣於把羊排成一排來計數，這導致了數軸概念的產生，在一條直線上等間隔地標記數字。理論上，數軸可以無限延長，但為了方便，我們只標識到了某個數值，後面用一個箭頭來表示數軸可以延長。歷史上的思想家們想到它能表示無窮大的數，但羊販子們可能不會理解這個概念，因為這已經超出了他們的想像。

如果您很健談，就能勸說別人買一隻您實際上沒有的羊，由此產生了債務和負數的概念。賣掉這隻想像中的羊，您實際有「負一」隻羊。這種情況導致了整數的產生——由自然數和他們的相反數（負數）組成。

貧窮的出現顯然早於債務，貧窮致使一部分人只買得起半隻羊，甚至四分之一隻羊。於是產生了分數——由一個整數除以另一個整數形成，如2/3，111/27數學家們稱這些數為有理數，有理數填補了數軸上整數之間的空白。為了方便，人們發明了小數點表示法，用「3.1415」來代替冗長的31415/10000。

過了一段時間，人們發現日常生活中使用的有些數無法用有理數表示，最典型的例子是圓的周長與直徑的比，記作PI。這就產生了所謂的實數，實數包含有理數和PI這樣的無理數——如果用小數形式表示，小數點後需要無窮多位。實數數學被很多人認為是數學中最重要領域之一，因為它是工程學的基礎，人類使用實數創建了現代文明，最酷的事情是有理數可數，而實數不可數。研究自然數和整數的領域稱為離散數學，研究實數的領域被稱為連續數學。

事實上，實數只是被文明文化所認可的，約定俗成的一種概念。許多著名物理學家們都認為：實數只是一種錯覺，因為宇宙是離散和有限的。如果現實世界是由有限個離散事物組成的，那麼我們只能夠計數到某個固定值——因為我們已經數完了世界中的所有事物（不僅我們數完了羊，連烤麵包機、修理工等也都數完了）。由此我們斷定，僅用離散數學就能描述整個宇宙，並且只需要用到自然數的一個有限子集（很大但可數）。也許宇宙中就存在著一個超越我們科技的文明，他們從來沒有聽過連續數學、基本微積分理論，甚至是無限這樣的概念。他們從不使用PI，而是使用3.14159（或者更精確的3.1415926535897932382626433832795）就可以建造完美的世界。

（《三體I》中提到外星人只在飛船上標記一個點就能帶走整部百科全書的例子，說的正是這個意思）

那為什麼還要使用連續數學呢？因為它在工程學上非常有用。但值得注意的是現實世界中使用的術語「實數」，通常是離散的意思。對3D虛擬世界的設計者來說，需要注意什麼呢？和現實世界一樣，將要處理的是一系列離散和有限的事物，可以使用C++提供的多種資料型別來描述3D虛擬世界，包括short，int，float和double。short是16位元整數，能代表65536個不同的數值，雖然這個數很大，但度量現實世界還是遠遠不夠的。int是32位元整數，可以代表42億個不同的數值。float是32位元有理數，可以代表42億個數值。double與float類似，是64位元有理數。

為虛擬世界選擇度量單位關鍵是選擇離散的精度，有一種錯誤的觀點認為short、int是離散的，而float、double是連續的，而實際上這些資料型別都是離散的。以前的電腦圖形學教材通常建議選用整數，因為那時硬體處理浮點數的能力要比處理整數弱，但對於現在的硬體。這種說法已經過時了。那應該怎樣選擇精度呢？電腦圖形學的第一準則：

電腦圖形學第一準則：近似原則如果看上去是對的它就是對的

（電腦中的PI不是實數，但我們認為它就是實數，就是被普遍認同的那個小數）

##後記

1D數學是1根數軸（這樣理解的話默認了數是連續的），2D數學是2根數軸（2D笛卡兒座標系），3D數學是3根數軸（3D笛卡兒座標系）。。。

###參考資料

• 《3D數學基礎：圖形與遊戲開發》